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Sin dalla nascita ognuno di noi è immerso in un ambiente nel quale i numeri sono presenti in ogni contesto della vita. Proprio per questo le abilità numeriche sono così fondamentali per ogni compito quotidiano e, sin da piccolissimi, gli esseri umani (e non solo) dimostrano di possedere competenze numeriche di base. La maggior parte di noi, infatti, nasce con la capacità di manipolare e riconoscere piccole numerosità. Sin dalle ricerche di Starkey e Cooper (1980) è stato dimostrato che i neonati sono in grado di riconoscere cambiamenti nel numero di oggetti che vengono loro presentati e vi sono teorie a sostegno del fatto che tale capacità dipenda da circuiti cerebrali specializzati.

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Brian Butterworth, uno dei massimi esperti internazionali di neuropsicologia cognitiva, noto per aver fondato le neuroscienze dell’educazione, parla proprio di “senso del numero”: un’innata sensibilità per quantità e numeri (Butterworth, 1999). Il senso del numero si arricchisce grazie all’esperienza delle quantità e nel corso dello sviluppo determina il concetto di numero, ponendosi come base per i successivi apprendimenti matematici. Proprio per il suo carattere innato, le possibilità di modificare questa abilità si riducono nel corso dello sviluppo ed è quindi di fondamentale importanza adottare il prima possibile modalità educative e di insegnamento coerenti con tali processi maturazionali.
Questo contribuirebbe anche a ridurre quell’enorme quantità di studenti, circa il 20% del totale secondo i dati di Lucangeli (Cornoldi, 2007), che in matematica sperimenta difficoltà non strettamente connesse a un disturbo specifico dell’apprendimento, come avviene invece nei casi con discalculia evolutiva.
Le ricerche in psicologia dell’educazione mostrano l’efficacia di un insegnamento dell’aritmetica che favorisca la costruzione di modelli mentali concreti di numeri (Dehaene, 2010).

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Potenziamento e gioco

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Il percorso qui presentato prende ispirazione da un programma di intervento ideato da Butterworth, basato sul senso del numero (Butterworth, Yeo, 2011).
Inizialmente il senso del numero è fondato sulle unità e i numeri sono visti come quantità di unità: questo permette di vedere i numeri come combinazioni diverse (per esempio 6 corrisponde a 6 unità ma anche al doppio di 3) e di identificare le strutture interne dei numeri (per esempio 26 rappresenta 26 unità ma anche 2 decine e 6 unità). Attraverso l’esperienza concreta e osservabile della manipolazione delle quantità è possibile accompagnare i bambini a passare gradualmente dal pensiero concreto a una maggiore astrazione, affiancando al codice analogico il codice arabico, offrendo quindi delle basi più stabili per lavorare sul sistema numerico e poi sul calcolo.
Sempre coerentemente con le attuali evidenze scientifiche sull’apprendimento, tali esperienze avranno un’efficacia maggiore tanto più riusciranno a suscitare emozioni positive e vissuti di competenza e autoefficacia nel bambino che apprende. Per tale motivo le attività di potenziamento che presenteremo sono state riformulate come giochi che potessero essere svolti in piccoli gruppi. Sono stati selezionati dei giochi che stimolassero processi coerenti con lo sviluppo della cognizione numerica e che nello stesso tempo fossero abbastanza semplici e di breve durata, in modo da poter essere gestiti il più possibile autonomamente dallo stesso gruppo. Inoltre, in tutti i giochi proposti il vincitore dipende sempre dal caso (per esempio grazie all’uso di dadi o al sorteggio di carte) e non dall’abilità individuale. Infatti l’obiettivo dei giochi è offrire occasioni piacevoli per fare esperienze positive con i numeri e non misurare un’abilità.
Le attività basate sul senso del numero possono essere proposte, con gli opportuni adattamenti, dall’età prescolare in poi. Sono facilmente adattabili alle attività didattiche più ordinarie solitamente proposte nelle classi prima e seconda primaria. In terza potrebbero avere un obiettivo di consolidamento e successivamente un obiettivo di recupero per alunni con difficoltà.

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Materiali

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$\"\"$ I materiali utilizzati in questo percorso prevedono un approccio concreto alla quantità; è quindi utilizzabile tutto ciò che consenta di manipolare delle singole unità, ma anche che renda visibile la possibilità di organizzarle in strutture, cioè in configurazioni spaziali che permettano di riconoscere il numero senza doverle contare ogni volta. Parliamo quindi di tessere, gettoni, tappi, pasta, mattoncini Lego ecc. È importante che non siano codificati per colore e che siano quindi o tutti dello stesso colore oppure di colori casuali: questo perché l’attenzione deve restare focalizzata sulla quantità di unità e non sul loro aspetto. Un materiale strutturato che segue questi principi è anche quello dei cosiddetti BAM, “Blocchi Aritmetici Multibase”. Oppure la tavola dinamica magnetizzata proposta nel volume I numeri e lo spazio, in cui le autrici Poli, Molin e Lucangeli sottolineano l’importanza di sostenere i processi alla base dell’intelligenza numerica attraverso strumenti che inscrivano «i numeri in una rappresentazione visuospaziale» e sostengano «un apprendimento dinamico, economico e automonitorato del calcolo mentale» (Poli, Molin, Lucangeli, 2017).
$\"\"$ Altro materiale fondamentale per questo percorso sono alcuni supporti visivi, sui quali disporre le stesse unità, tra cui una linea dei numeri in cui sia evidenziata la struttura in decine, anch’essa coerente con la rappresentazione mentale del numero che segue un’organizzazione lineare.
Infine, per inserire tali materiali in un contesto di gioco, si possono utilizzare dadi, carte da estrarre e ruote girevoli che inseriscano quell’elemento di casualità.
Attraverso la combinazione di questi materiali è possibile realizzare attività ludiche per potenziare:

la conoscenza di base del sistema numerico: conteggio e sistema di numerazione;
l’accesso ai fatti numerici fondamentali: operazioni con numeri a due cifre;
la conoscenza delle procedure di base del calcolo per i numeri più grandi: mentale con numeri a due cifre, e scritto.

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Le attività

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L’esperienza che ha dato vita a questa ricerca è stata incentrata soprattutto sul potenziamento dell’accesso ai fatti numerici fondamentali e della conoscenza delle procedure di base del calcolo mentale, trasferite poi nel calcolo scritto. È importante ricordare che, in base ai processi cognitivi legati alla cognizione numerica, il calcolo scritto rappresenta solo un supporto al calcolo a mente e non deve sostituire quest’ultimo.

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Metodologia

Classe seconda primaria: 30 bam- bini, divisi in due sottogruppi, composti da 5 gruppi da 3
Sessioni di 1 ora, 2 volte a settimana, per 2 mesi
Materiali: rappresentazioni manipolabili di unità (gettoni in cartoncino), supporti visivi (pattern di unità, linea dei numeri), giochi in piccoli gruppi (con carte dei numeri e ruota della fortuna)

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Prima fase (6 incontri)
$\"\"$ Le prime attività hanno avuto lo scopo di presentare i “pattern di unità” per favorire l’interiorizzazione di una rappresentazione visiva del numero come combinazione regolare di unità.
I pattern di unità proposti da Butterworth e Yeo sono configurazioni spaziali delle quantità di ciascun numero da 1 a 10. Ogni numero è presentato con una determinata struttura che ricorda le posizioni del dado da 6.
Questo facilita il riconoscimento e il recupero globale della quantità, senza passare per il conteggio uno a uno, perché ogni numero viene visualizzato come insieme organizzato di unità; è una strategia che alimenta le basi dell’apprendimento dei fatti numerici e del calcolo mentale. In questo modo, infatti, i numeri verranno riconosciuti come insiemi organizzati di quantità e come combinazioni di quantità: per esempio il 7 è composto da 4 e 3 pallini.
Dopo alcune attività preparatorie per familiarizzare con il materiale (per esempio la realizzazione concreta dei pattern utilizzando le singole unità), sono stati proposti diversi giochi in cui utilizzare i pattern di unità sotto forma di carte. L’obiettivo è di fare esperienze, brevi ma ripetute e coinvolgenti, in cui conoscere e utilizzare concretamente i pattern per arrivare a interiorizzare queste rappresentazioni spaziali del numero. Nella Scheda 1 presente alla fine dell’articolo viene presentato come esempio il “Gioco del tubo”.
$\"\"$ Dopo due o tre incontri è stata presentata la cosiddetta “triade” di numeri, per rafforzare la strategia della combinazione tra quantità. In questa fase tutti i giochi sono basati sulla strategia di abbinare due numeri per avere uno stesso risultato.
Nella Scheda 1 alla fine del presente articolo viene presentato il gioco “Forza 3”. Si possono proporre anche altre tipologie di gioco basate sull’associazione, come Memory o Domino realizzati con carte che rappresentino l’operazione da abbinare a carte con il risultato.
Gli stessi materiali possono essere utilizzati in un secondo momento per giochi sulle sottrazioni a mente.

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Seconda fase (4 incontri)
$\"\"$ È poi stata presentata una strategia fondamentale per il calcolo mentale: il “completamento della decina”, basata sul ragionamento del “pensare fino al 10”. Prima con le addizioni a una cifra (come 9 + 4, 8 + ..., 7 + ...), poi con numeri a due cifre (16 + 8). Nelle attività preparatorie queste operazioni sono state rappresentate concretamente sulla linea dei numeri graduata in cui posizionare le singole unità (in questo caso sono utili elementi in due colori diversi, uno per ogni addendo), verbalizzando i diversi passaggi: 9 + 4 = “Prendo 9 unità blu e 4 unità gialle. Metto 9 unità sulla linea: quante ne mancano per arrivare a 10? Aggiungo le 4 unità gialle e trovo il risultato”.
La decina segnalata visivamente sulla linea consente di visualizzare immediatamente il punto di passaggio senza dover contare tutto dall’inizio.
Per aumentare il livello di astrazione questa procedura viene poi replicata graficamente e descritta verbalmente.
In questa fase è stato anche introdotto il gioco “The Number Catcher” sviluppato in Francia dall’Istituto di ricerca internazionale sulla cognizione numerica INSERM-CEA e disponibile gratuitamente online nel sito www.thenumbercatcher.com.

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Terza fase (6 incontri)
$\"\"$ Nella parte finale del percorso è stato iniziato un lavoro sulle addizioni a due cifre, senza e con cambio, preparando il passaggio dal calcolo a mente al calcolo scritto in colonna. Il tutto potrà poi essere ripetuto con le sottrazioni.
Per mantenere un legame con i ma- teriali concreti sono state utilizzate sia unità singole sia unità raggruppate in strisce che rappresentano le decine. Anche in questa fase è importante che i materiali siano tutti dello stesso colore o di colori casuali, evitando che la differenza tra unità e decina sia codificata da colori predefiniti. Un’alternativa sempre gradita ai bambini è l’uso dei mattoncini Lego®.
Anche in questo caso, prima di proporre i giochi in gruppi, è opportuna una fase preparatoria in cui prendere familiarità con i materiali e con la strategia di calcolo. In questi ultimi incontri è stata utilizzata la strategia di scomposizione e raggruppamento di unità con unità e decine con decine, prima realizzata e visualizzata con i materiali concreti, poi verbalizzata oralmente e registrata per iscritto.
Con questa metodologia sono state proposte:

addizioni mentali a due cifre senza cambio di decina: è consiglia- bile iniziare da addizioni semplici, simili ai fatti numerici già conosciuti nelle sessioni precedenti (per esempio 30 + 30), e aumentare gradualmente la difficoltà;
addizioni mentali a due cifre con cambio di decina, iniziando anche in questo caso da operazioni più semplici, come 16 + 16, per poi aumentare gradualmente la difficoltà.

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$\"\"$ Da qui è poi stata introdotta un’attività di calcolo a mente che prevede la semplice “registrazione scritta” del calcolo con visualizzazione di unità e decine, preparatoria a una seconda fase in cui verrà introdotto il calcolo scritto in colonna.
In quest’ultima fase il materiale prevede:

unità e decine (strisce di 10 unità) manipolabili;
foglio A4 che rappresenti una griglia divisa in D e U per disporre i materiali;
griglia piccola divisa in D e U per la registrazione scritta sul quaderno o foglio a quadretti.

È preferibile iniziare da un’addizione senza cambio di decina, che viene rappresentata con il materiale disponendolo direttamente sulla superficie della griglia grande. Infine si registra il procedimento scritto e il risultato nella griglia piccola. In questa fase è importante far notare che si parte dalle unità e accompagnare i passaggi con poche parole semplici. Dopo alcune ripetizioni vengono proposte le addizioni con cambio, come 36 + 26, e si presenta la strategia della ridistribuzione: quando ci sono 10 unità vanno sostituite con una decina e questa va spostata nella colonna D. Questo va annotato anche nella griglia di registrazione scrivendo il riporto prima di procedere al risultato.
Anche in questa fase i giochi proposti hanno seguito la stessa strategia, la ridistribuzione, con l’obiettivo di farne esperienze ripetute, coinvolgenti e piacevoli. È stato utilizzato per esempio un gioco in piccolo gruppo in cui, estraendo dei numeri da 0 a 9 a turno, i bambini dovevano aggiungere tali unità all’addizione in corso (agendo concretamente sui materiali previsti in questa fase, cioè le unità e la griglia D-U) e ridistribuirle nella colonna delle decine quando opportuno, ponendo come criterio per vincere la partita di raggiungere per primi un risultato pari o superiore a 3 decine.

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Risultati e conclusioni

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I bambini che hanno partecipato alle prove hanno manifestato entusiasmo, coinvolgimento e un nuovo piacere nei confronti della matematica

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Per verificare l’efficacia del potenziamento svolto, ai 30 bambini partecipanti sono state somministrate le prove collettive del test AC-MT 6-11 sia prima di iniziare il percorso, sia dopo l’ultimo incontro. Le stesse prove sono state somministrate negli stessi periodi anche a un gruppo di controllo, costituito da altri 26 bambini di classe seconda primaria che hanno svolto attività didattiche ordinarie.
I risultati emersi dall’analisi dei dati sono stati incoraggianti. Rispetto all’efficacia del progetto attuato, il confronto tra il gruppo che è stato sottoposto a un tipo di didattica basata sui principi individuati da Butterworth e Yeo (2011) e da Lucangeli (2017), e quello di controllo, mettono in evidenza un aumento di competenze sensibilmente maggiore nel primo rispetto al secondo. In particolare, sono state prese in considerazione le operazioni scritte, il giudizio di numerosità, la trasformazione in cifre scritte, l’ordinamento crescente e decrescente e l’indice di conoscenza numerica (si vedano le prove AC-MT 6-11: Cornoldi, Lucangeli, Bellina, 2012).
Il parametro di riferimento che è stato utilizzato per comprendere il livello di cambiamento è quello della fascia di prestazione: ci si è concentrati sul comprendere se il bambino rimanesse stabile nelle sue competenze oppure se si registrasse un miglioramento o un peggioramento, valutato in termini di cambiamento nella fascia di prestazione raggiunta al test. In tutte le aree sondate il gruppo sperimentale ha mostrato percentuali di miglioramento piuttosto significative e nettamente superiori a quelle del gruppo di controllo; nel gruppo di controllo si sono inoltre osservate percentuali maggiori di bambini che hanno manifestato un peggioramento di prestazione.
In particolare, nella prova di calcolo scritto si è osservato un miglioramento significativo per il 53% dei bambini del gruppo sperimentale. Nel gruppo di controllo il miglioramento ha riguardato solo il 32% di bambini e si è registrato un peggioramento nel 16% dei casi. Nei punteggi dell’indice di conoscenza numerica troviamo un miglioramento significativo nel 57% dei bambini del gruppo sperimentale, mentre nel gruppo di controllo si osserva un 25% di bambini con miglioramento, ma anche un 25% di bambini con peggioramento della prestazione.
Va notato inoltre che, sul piano motivazionale, i bambini hanno manifestato entusiasmo e partecipazione attiva ai lavori proposti. L’insegnante ha potuto riscontrare grande coinvolgimento e lo sviluppo da parte degli alunni di un piacere verso la disciplina della matematica che si è trasferito anche ad altre modalità di lezione.
Pregio ulteriore del lavoro proposto è quello di essere replicabile in ambito didattico e modificabile in base alle esigenze individuali di bambini e insegnanti. Le attività effettuate sono di tipo inclusivo e pertanto programmabili per tutta la classe. Inoltre i materiali utilizzati sono di facile reperibilità e modificabili a seconda di necessità e contesti. In terza battuta, le prove svolte sono utilizzabili anche dai docenti: lo studio può pertanto essere ripetuto all’interno di ogni classe per verificare l’andamento dei progressi fatti da ogni bambino. La metodologia proposta, infatti, non si è mostrata utile solo per eventuali bambini in difficoltà, ma ha avuto ricadute positive sull’apprendimento dell’intero gruppo classe.

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Si ringrazia Chiara Fasano, insegnante della scuola primaria Maria Ausiliatrice di Via Morrone (Roma), che ha reso possibile arrivare a questi risultati accompagnando i suoi alunni con passione e professionalità.

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Strumenti e percorsi

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Butterworth B. (1999), The Mathematical Brain, MacMillan, New York; tr. it. Intelligenza matematica, Rizzoli, Milano, 1999.
Butterworth B., Yeo D. (2011), Didattica per la discalculia, Erickson, Trento.
Cornoldi C., Lucangeli D., Bellina M. (2012), Test AC-MT 6-11, Erickson, Trento.
Cornoldi C. (a cura di, 2007), Difficoltà e disturbi dell’apprendimento, il Mulino, Bologna.
Dehaene S. (2010), Il pallino della matematica. Scoprire il genio dei numeri che è in noi, Raffaello Cortina, Milano.
Lucangeli D. (2017), La discalculia e le difficoltà in aritmetica, Giunti EDU, Firenze.
Poli S., Molin A., Lucangeli D. (2017), I numeri e lo spazio, Erickson, Trento.
Starkey P., Cooper R.G. (1980), «Perception of number by human infants», Science, 210(4473), 1033-1055. www.thenumbercatcher.com

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Potenziamento e gioco

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Materiali

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la conoscenza di base del sistema numerico: conteggio e sistema di numerazione;
l’accesso ai fatti numerici fondamentali: operazioni con numeri a due cifre;
la conoscenza delle procedure di base del calcolo per i numeri più grandi: mentale con numeri a due cifre, e scritto.

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Le attività

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Metodologia

Classe seconda primaria: 30 bam- bini, divisi in due sottogruppi, composti da 5 gruppi da 3
Sessioni di 1 ora, 2 volte a settimana, per 2 mesi
Materiali: rappresentazioni manipolabili di unità (gettoni in cartoncino), supporti visivi (pattern di unità, linea dei numeri), giochi in piccoli gruppi (con carte dei numeri e ruota della fortuna)

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addizioni mentali a due cifre senza cambio di decina: è consiglia- bile iniziare da addizioni semplici, simili ai fatti numerici già conosciuti nelle sessioni precedenti (per esempio 30 + 30), e aumentare gradualmente la difficoltà;
addizioni mentali a due cifre con cambio di decina, iniziando anche in questo caso da operazioni più semplici, come 16 + 16, per poi aumentare gradualmente la difficoltà.

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unità e decine (strisce di 10 unità) manipolabili;
foglio A4 che rappresenti una griglia divisa in D e U per disporre i materiali;
griglia piccola divisa in D e U per la registrazione scritta sul quaderno o foglio a quadretti.

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Risultati e conclusioni

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I bambini che hanno partecipato alle prove hanno manifestato entusiasmo, coinvolgimento e un nuovo piacere nei confronti della matematica

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Strumenti e percorsi

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Giochi di numeri

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