Usare le prove nazionali di matematica per capire meglio le difficoltà degli studenti

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Usare le prove nazionali di matematica per capire meglio le difficoltà degli studenti

Conosciamo davvero le caratteristiche degli errori commessi dagli studenti? 

Invalsi

Un test che ha fatto discutere

Nell’anno scolastico 2008-2009, tra le prove nazionali italiane di matematica destinate agli studenti delle classi quinte di Scuola Primaria, appariva la seguente proposta:

D9. Maria, Renata e Fabio misurano a passi la lunghezza della loro aula. Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e Fabio 28. Chi ha il passo più lungo?
A. Renata.
B. Fabio.
C. Maria.
D. Non si può sapere.

I risultati nazionali in percentuale sono stati i seguenti:

  • mancata risposta: 0,2
  • A: 42,9
  • B: 2,2
  • C: 49,5
  • D: 5,1.

A prima vista, il risultato è eccellente: il 49,5% di studenti italiani dà la risposta esatta.

Ma, grazie alla famosa possibilità interpretativa del bicchiere mezzo pieno come fosse mezzo vuoto, il 50,5% di studenti italiani NON dà la risposta esatta ad un problema che nulla ha a che vedere con le competenze / conoscenze matematiche ma solo con il buon senso e con la capacità di leggere un testo, interpretarlo e di immaginarsi la situazione.

Puntiamo tutta la nostra attenzione sulle due risposte significative:

  • senso corretto, quello sperato (risposta C): ha il passo più lungo chi fa meno passi per misurare l’aula: 49,5% di risposte;
  • senso sbagliato (risposta A): ha il passo più lungo chi ha fatto più passi per misurare l’aula: 42,9% di risposte.

Abbiamo chiesto commenti a insegnanti di matematica di diversi livelli, a genitori non insegnanti, a colleghi matematici nulla aventi a che fare con la ricerca in didattica della matematica. Facile immaginare le risposte: la “colpa” è degli studenti che “non sanno più leggere” e che “non sanno concentrarsi”; poi della scuola che “non insegna più a ragionare”; quindi degli insegnanti che “non sanno insegnare” e “pretendono sempre meno”. Sono commenti così ovvii, banali e scontati che nemmeno mi metto ad esaminarli: una eventuale loro analisi non ci aiuterebbe a capire.

Abbiamo chiesto il parere, in particolare, a insegnanti di livello primario, i più interessati al risultato; in questo caso appare una spiegazione del fenomeno, una lamentela su come le prove proposte siano “diverse da quelle cui gli studenti sono abituati”; il D9 rientra fra i problemi poco comuni, una specie di trabocchetto diabolicamente teso agli studenti. Riportiamo una frase, fra tutte: «Noi i bambini li abituiamo a certe situazioni problematiche, e in quelle i miei sono bravi e competenti; poi arrivano queste prove e loro non le riconoscono».
Dunque, esistono “situazioni problematiche costruite secondo un certo accordo fra bambini e insegnanti” e “situazioni problematiche diverse da quelle, dunque inattese” la cui non risoluzione è giustificata.

Rifacciamo il test altrove

Abbiamo rifatto il test esattamente identico in Colombia, in Spagna, a Cipro, in Francia e in altri Paesi; i risultati ottenuti sono sostanzialmente identici. Questo fatto sorprende? No, niente affatto.

Abbiamo provato a dialogare con alcuni bambini, tutti attorno ai 10 anni di età, per cercare di capire quali fossero eventuali cause legate al testo. È facile vedere, infatti, che il testo è viziato da quelli che si chiamano “dati impliciti” o “supposti”; per esempio, non è detto che i tre bambini del problema appartengano alla stessa classe e non è detto che stiano misurando la stessa aula. La ricerca ha molto bene messo in evidenza che molti dei testi degli esercizi e dei problemi proposti nelle aule sono inficiati da questo vizio e che i bambini si reinventano implicitamente il testo proposto, riformulandolo in modo spontaneo, più consono alle loro esigenze; la ricerca ha evidenziato questo fatto chiedendo esplicitamente ai bambini di riformulare i testi dei problemi per poterli rendere adatti e più facilmente risolubili a bambini di altre classi.

Ma le interviste (informali) mettono in evidenza che tutti i risolutori hanno senza alcuna ombra di dubbio ipotizzato, in accordo con l’anonimo estensore del testo, che i tre bambini stessero misurando la loro stessa aula, anzi che appartenessero alla stessa classe, anzi (secondo molti) che fossero amici.
Dunque, il problema non è questo. C’è dell’altro.

La didattica spiega il fenomeno

La teoria delle situazioni, ideata da Guy Brousseau alla fine degli anni ‘60 e resa oggetto condiviso di studio internazionale fin dai primi anni ‘80, spiega perfettamente quel che succede.
Ci sono accordi non detti, non espliciti che fanno sì che insegnanti ed allievi costruiscano modalità di interpretazione dei test e di soluzione degli stessi.
Le tipiche indicazioni normative del tutto inutili che l’insegnante dà allo studente, “leggi bene il testo”, “individua e cerchia i dati utili”, “leggi e sottolinea la domanda” etc., costringono senza alcuna possibilità di scampo il bambino-solutore a disinserire la sua capacità logico-critica basata sull’esperienza anche extra scolastica (più lunghi sono i passi, minore è il numero che esprime la misura della stanza) e farsi carico di clausole implicite: “più lunga uguale più passi” (non importa di che cosa si stia parlando), senza prendere in esame la situazione, ma solo afferrando acriticamente le consegne numeriche. Cioè si guardano i numeri e la relazione fra essi, non il significato semantico della proposta e della situazione descritta.

La famosa frase di un bambino infuriato perché il ricercatore-insegnante lo costringeva a ragionare invece che a risolvere ("Uffa, ma io devo risolvere il problema, non devo ragionare"), la dice lunga sul comportamento contrattuale che il bambino assume.
Nel nostro problema ci sono dei dati, tre numeri: 26, 30, 28; e una domanda che contiene la frase: “più lungo”. Per 5 anni i bambini sono stati invitati a ragionare sul fatto che “più lungo” sta in sintonia con “maggiore”, che si indica con >; mettiamo in ordine i tre numeri: 30>28>26. La risposta non può che essere 30. Nulla importa la condizione descritta, nulla la logica invocata dal testo: si devono rispettare gli accordi (spesso solo impliciti) presi con l’insegnante.

Un trabocchetto?

La cosa che può colpire di più è il fatto che alcuni insegnanti vivano come “trabocchetto teso ai bambini” il test proposto, perché non corrisponde agli standard loro personali, alla domanda che, secondo alcuni, sta alla base dell’attività di risoluzione dei problemi: qual è l’operazione aritmetica da fare?
La maggior parte degli insegnanti intervistati dice esplicitamente che loro insegnano ai bambini a riconoscere se, nella risoluzione di un problema, va usata l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione o la divisione. E i libri di testo rispondono a questa scelta e dunque la rinforzano, distinguendo fin dalla prima primaria sezioni con esercitazioni nella modalità seguente: problemi di addizione, problemi di sottrazione etc.; anzi, spesso appaiono anche sezioni così titolate: problemi impossibili, problemi con dati mancanti, problemi con dati sovrabbondanti (mancano quasi sempre i problemi con dati contraddittori che non sono mai piaciuti agli insegnanti fin dalla loro proposta nei cosiddetti Nuovi Programmi per la Scuola Elementare del 1985; qualcuno li include fra i problemi impossibili).

In queste situazioni, dopo 5 anni di condizionamento e di insegnamento, che cosa può fare un allievo, se non comportarsi secondo contratto?
Dicevo sopra che questo comportamento e questa reazione degli insegnanti potrebbe sorprendere, ma io non sono affatto sorpresa. Tutto, tutto ciò, è parte degli studi rivelatori di Guy Brousseau e dei suoi collaboratori, all’interno della teoria delle situazioni. Fenomeni ben spiegati scientificamente, in modo dettagliato, senza ombra di dubbio, senza scappatoie.

E allora approfittiamo di queste prove nazionali

E allora approfittiamo di queste prove, che sono nazionali, dunque seguono uno standard oggettivo, non uno specifico locale, che misurano il sistema e non i singoli o le scuole o la professionalità degli insegnanti, proprio per questi casi che non rientrano nella prassi, per scoprire quel che succede in aula, spesso senza che ce ne accorgiamo, riconoscendo clausole subdole di un contratto che si instaura da sé, senza esplicitazioni. E anche per imparare che fossilizzarsi su problemi pre-costituiti basati su accordi pre-stabiliti non aiuta il bambino a imparare a risolvere i problemi ma solo a stare al gioco. Quel bambino proseguirà negli studi, non si limiterà a frequentare la quinta primaria, dovrà imparare a cavarsela da sé, a risolvere ogni tipo di situazione.
Ben venga allora la disponibilità ad accettare suggerimenti impliciti da parte di chi sta osservando il panorama nazionale in modo oggettivo, senza preconcetti di parte.

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